HOOK · 시작 질문
두 단항식의 곱 은?
A rectangle with side lengths $3a^2$ and $4a^3$ — what is its area?
A LITTLE PUZZLE
가로의 길이가 $3a^2$, 세로의 길이가 $4a^3$인 직사각형의 넓이 는?
$3a^2$
$4a^3$
넓이 = ?
Area = (width) × (height)
초등학교에서부터 넓이는 가로 × 세로 로 구한다고 배웠습니다. 그래서 답은 $3a^2 \times 4a^3$. 그런데 이걸 어떻게 한 줄로 정리할 수 있을까요? $3$과 $4$는 곱해서 $12$ 가 되고, $a^2$과 $a^3$은 지수법칙 Ⅰ로 $a^5$ 가 되니까 — 답은 $12a^5$. 이렇게 단항식의 곱셈에는 두 가지 일이 동시에 벌어집니다.
이 차시에서 우리는 단항식끼리의 곱셈을 분해해 봅니다. 핵심은 단 한 줄로 요약됩니다 — 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 . 그리고 같은 문자끼리는 1.1에서 배운 지수법칙 Ⅰ 을 사용합니다.
CORE PRINCIPLE · 원리
단항식의 곱셈 3단계
Three steps that turn any monomial product into a single monomial.
CORE FORMULA
단항식 곱셈의 일반 원리
STEP 01
부호 결정
$(+)(+)=+$, $(+)(-)=-$, $(-)(-)=+$. 부호를 먼저 챙긴다.
STEP 02
계수 곱셈
숫자(계수)끼리 곱한다. $3 \times 4 = 12$.
STEP 03
문자 정리
같은 문자는 지수법칙 Ⅰ 로 지수를 더한다. $a^2 \times a^3 = a^5$.
시연 · $3a^2 \times 4a^3$
$3a^2 \times 4a^3$
계수 × 계수
$3 \times 4 = 12$
·
문자 × 문자
$a^2 \times a^3 = a^5$
=
▶ $3a^2 \times 4a^3 = 12a^5$
시연 · 음수 부호가 있을 때
$(-2x^3) \times 5x^2$
·
문자
$x^3 \times x^2 = x^5$
=
▶ $(-2x^3) \times 5x^2 = -10x^5$
시연 · 여러 문자가 섞일 때
$2a^2 b \times 3ab^4$
$a^2 \cdot a^1 = a^3$, $\ b^1 \cdot b^4 = b^5$ — 같은 문자끼리 지수를 더한다.
▶ $2a^2 b \times 3ab^4 = 6a^3 b^5$
QUICK CHECK · 빠른 확인
바로 확인 하기
5 quick warm-ups — click each card to reveal the answer.
QC-01 · 기본
$5a^3 \times 2a^4 = ?$
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계수: $5 \times 2 = 10$. 문자: $a^{3+4} = a^7$. ▶ $\mathbf{10a^7}$.
QC-02 · 음수
$(-3x^2) \times 4x = ?$
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$(-3) \times 4 = -12$, $x^2 \times x = x^3$. ▶ $\mathbf{-12x^3}$.
QC-03 · 두 음수
$(-2a)(-5a^4) = ?$
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$(-)\cdot(-)=+$, $(-2)(-5)=10$, $a \cdot a^4 = a^5$. ▶ $\mathbf{10a^5}$.
QC-04 · 여러 문자
$4xy^2 \times 3x^3 y = ?$
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계수: $4 \times 3 = 12$. $x \cdot x^3 = x^4$, $y^2 \cdot y = y^3$. ▶ $\mathbf{12x^4 y^3}$.
QC-05 · 거듭제곱 결합
$(2a)^3 \times a^2 = ?$
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먼저 $(2a)^3 = 8a^3$. 그다음 $8a^3 \times a^2 = \mathbf{8a^5}$.
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples blending exponent laws with multiplication.
EXAMPLE 01
거듭제곱이 포함된 단항식 곱셈
다음 식을 간단히 하시오: $\quad (2x^3)^2 \times 3x^4$
1
먼저 거듭제곱을 풀자. 법칙 Ⅳ : $(2x^3)^2 = 2^2 \times x^6 = 4x^6$.
2
이제 $4x^6 \times 3x^4$. 계수 : $4 \times 3 = 12$. 문자 : $x^{6+4} = x^{10}$.
▶ 답: $12x^{10}$
EXAMPLE 02
음수 부호와 여러 문자
다음 식을 간단히 하시오: $\quad (-3a^2 b)^3 \times 2ab^2$
1
법칙 Ⅳ 로 괄호 풀기: $(-3a^2 b)^3 = (-3)^3 \times (a^2)^3 \times b^3 = -27 a^6 b^3$.
2
이제 $-27 a^6 b^3 \times 2ab^2$. 계수 : $(-27) \times 2 = -54$.
3
문자 : $a^6 \cdot a = a^7$, $\ b^3 \cdot b^2 = b^5$.
▶ 답: $-54 a^7 b^5$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty. Type your answer as written (e.g., 12a^7).
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
$4a^3 \times 5a^2$를 간단히 하시오. (답 형식: 20a^5 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $4 \times 5 = 20$. 문자: $a^3 \cdot a^2 = a^5$. ▶ $\mathbf{20a^5}$.
$(-3x^2) \times 6x^5$를 간단히 하시오. (답 형식: -18x^7 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $(-3) \times 6 = -18$. 문자: $x^2 \cdot x^5 = x^7$. ▶ $\mathbf{-18x^7}$.
$2ab \times 5a^2 b^3$를 간단히 하시오. (답 형식: 10a^3b^4 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $2 \times 5 = 10$. $a$: $a \cdot a^2 = a^3$. $b$: $b \cdot b^3 = b^4$. ▶ $\mathbf{10a^3 b^4}$.
$(3a^2)^2 \times 2a^3$을 간단히 하시오. (답 형식: 18a^7 )
확인 풀이
SOLUTION
$(3a^2)^2 = 9a^4$. 이제 $9a^4 \times 2a^3$. 계수: $9 \times 2 = 18$. 문자: $a^{4+3} = a^7$. ▶ $\mathbf{18a^7}$.
$(-2x^3)^3 \times 4x^2$를 간단히 하시오. (답 형식: -32x^11 )
확인 풀이
SOLUTION
$(-2x^3)^3 = (-2)^3 \cdot x^9 = -8x^9$. 이제 $-8x^9 \times 4x^2$. 계수: $-32$. 문자: $x^{11}$. ▶ $\mathbf{-32x^{11}}$.
$(xy^2)^3 \times 2x^2 y$를 간단히 하시오. (답 형식: 2x^5y^7 )
확인 풀이
SOLUTION
$(xy^2)^3 = x^3 y^6$. $x^3 y^6 \times 2x^2 y$. 계수: $2$. $x$: $x^{3+2}=x^5$. $y$: $y^{6+1}=y^7$. ▶ $\mathbf{2x^5 y^7}$.
$3a^4 \times \square = 12a^7$일 때, 빈칸에 알맞은 식은? (답 형식: 4a^3 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $3 \times ? = 12$ → $? = 4$.
문자: $a^4 \cdot a^? = a^7$ → 지수의 합이 7이므로 $? = 3$.
▶ $\mathbf{4a^3}$.
가로 $2a^2$, 세로 $3a$, 높이 $5a^3$인 직육면체의 부피 는? (부피 = 가로 × 세로 × 높이; 답 형식: 30a^6 )
확인 풀이
SOLUTION
부피 = $2a^2 \times 3a \times 5a^3$.
계수: $2 \times 3 \times 5 = 30$. 문자: $a^{2+1+3} = a^6$.
▶ $\mathbf{30a^6}$.